Аннотация:
Изложены общие методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и их иллюстрация на примере уравнения Риккати. На основе трех аппроксимирующих уравнений выведены новые асимптотические решения уравнения Риккати. Получены приближенные формулы для решения линейного уравнения второго порядка, непрерывные и точках поворота. Представлено точное условие квантования и точные выражения для коэффициентов отражения и прохождения потенциального барьера. Дано общее решение граничной задачи для системы уравнений Максвелла методом интеграла Фурье.
Николай Евгеньевич Цапенко — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики Московского государственного горного университета.
Для научных работников, специализирующихся в области математической физики. Может быть полезна аспирантам и студентам старших курсов технических университетов.
Содержание:
Предисловие
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
1.1. Задача Коши. Разложение решения в степенной ряд
1.2. Еще о степенных разложениях
1.3. Качественное рассмотрение точных решений уравнения Риккати
1.4. О числе независимых частных решений уравнения Риккати
1.5. Метод последовательных приближений Пикара
1.6. Метод последовательных приближений Ньютона
1.7. Сравнение величин отрезков сходимости в методах Пикара и Ньютона
1.8. Редукция уравнения второго порядка к системе линейных уравнений первого порядка
1.9. Формализующие замены переменных в системе уравнений первого порядка
1.10. Представление решения в виде итерационных рядов
1.11. Еще один способ представления решения волнового уравнения
Глава 2. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
2.1. Главное асимптотическое разложение
2.2. Аппроксимирующие уравнения
2.3. Оценки точности приближенных решений
2.4. Вещественные формы уравнения Риккати и их приближенные решения
2.5. Пример для сравнения точных и приближенных решений уравнения Риккати
2.6. Предельные значения приближенных решений
2.7. Интегрирование решений уравнения Риккати
2.8. Некоторые вспомогательные асимптотические разложения
2.9. Частичное суммирование основного асимптотического ряда
Глава 3. МЕТОД ВКБ
3.1. Формализм метода
3.2. Общие свойства коэффициентов асимптотического ряда
3.3. Линии Стокса
3.4. Асимптотика в окрестности простого изолированного нуля функции r(z)
3.5. Уравнение Эйри
3.6. Две точки поворота. Условие квантования
3.7. Подсчет числа нулей собственных функций
3.8. Гармонический осциллятор
Глава 4. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
4.1. Представления точных решений
4.2. Условие квантования
4.3. Преодоление квантовомеханической частицей потенциального барьера
4.4. Надбарьерное отражение
4.5. Отражение плоской электромагнитной волны от неоднородного диэлектрического слоя
Глава 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
5.1. Уравнения Максвелла
5.2. Инвариантность уравнений Максвелла
5.3. Алгебраический вывод преобразований Лоренца
5.4. Применение преобразований Фурье для решения граничных задач
5.5. Е- и H-волны в слоисто-неоднородной среде
5.6. Распространение волны по длинной линии
5.7. Волновой фронт и уравнения луча
5.8. Блуждающая волна в неоднородной среде
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Асимптотическое вычисление интегралов. Предельные значения приближенных решений
Приложение 2. Сводка асимптотических решений уравнения Риккати
Список литературы
